ý nghĩa con Số 5

Con Số 5

Nguyễn Xuân Vinh & Nguyễn Phú Thứ

Giáo sư Nguyễn Xuân Vinh và giáo sư Nguyễn Phú Thứ, một người ở Hoa Kỳ một người ở Pháp, nhưng có cùng một tâm niệm là góp chung những kiến thức của mình để viết bằng tiếng Việt những bài luận thuyết về khoa học thường thức và phổ biến tới đại chúng. Lần này hai ông viết về những kỳ diệu của con số 5.

Phàm người đời thường cho rằng, tất cả hiện hữu có được trên quả đất này từ con người đến thú vật cũng như cây cỏ và vật dụng...đều có số hết cả. Có nhiều con số đáng cho chúng ta suy ngẫm. Riêng đối với con người, khi lọt lòng mẹ sanh ra cũng tính bằng con số, bởi vì, từ khi người mẹ thụ thai đến khi lọt lòng mẹ phải mất một thời gian khoảng 9 tháng 10 ngày, rồi khi ta lớn lên đến khi lìa đời cũng phải mất một thời gian dài hay ngắn, nếu người chết có số tuổi cao xem như chết già tức có số trường thọ, còn trái lại, người đó chết tuổi thấp xem như chết non tức có số chết yểu, hoặc người sanh ra được số sung sướng giàu sang phú quý hay bị số bất hạnh, nghèo khó. Điều đó ta gọi số mệnh. Vì luận đoán số mệnh đưa vào tuổi thọ, tức là thời gian dài hay ngắn, và tiền của nhiều hay ít hoặc phúc trạch là có đông con cái hay không nên người ta phải có những con số để đo lường. Do vậy, con số đó là gì?

Nhận Định chung về con số 5

Nếu chúng ta xét cho kỹ, thì thấy con số đó chỉ là con số chẵn hoặc con số lẻ đã được các nhà khoa học tìm ra cho chúng ta sử dụng sau này, nhưng nó chỉ đóng khung 10 con số căn bản. Đó là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 (bởi vì, số 0 cũng là con số) . Từ đó, chúng ta ghép nối để có những con số lớn hơn. Đây là, năm con số chẵn 0, 2, 4, 6, 8 và năm con số lẻ 1, 3, 5, 7, 9. Viết đến đây, chúng tôi lại nhớ : Căn cứ theo Hà Đồ Tiên Thiên Bát Quái gồm có 10 con số là : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và 10. Nhưng được phân định như sau :

Năm con số dương = Trời, tức số lẻ như đã dẫn ở trên là : 1, 3, 5, 7, 9. Nếu chúng ta đem cộng tất cả những số này thì có kết quả như sau : 1+3+5+7+9 = 25.

Năm con số âm = Đất, tức số chẵn như đã dẫn ở trên là 2, 4, 6, 8, 10 (vì 1 ghép nối với 0 = 10) . Nếu chúng ta đem cộng tất cả những số này thì có kết quả như sau : 2+4+6+8+10 = 30.

Nếu chúng ta cộng kết quả của số dương và số âm thì có được như sau : 25 + 30 = 55. Con số này gồm chung cả thiên địa rất công bằng, vì mỗi thiên và mỗi địa đều có 5 lại tương đắc, công bằng với nhau, vì : "Thiên số ngũ, Địa số ngũ, ngũ vị tương đắc nhi các hữu hiệp" (Số trời có năm số, số đất có năm số, năm ngôi cùng tương đắc mà điều hạp nhau). Ngoài ra, theo Lão Tử đã viết: "Nhứt sanh nhị, nhị sanh tam, tam sanh vạn vật" và theo Kinh Dịch đã viết :"tam thiên, lưỡng địa" (bởi vì, tiên âm hậu dương) tức Trời 3, Đất 2. Từ đó, người đời thuờng nói : "Trời cao, Đất rộng" hay "Trời tròn, Đất Vuông" là thế đó. Nếu chúng ta cộng Trời 3 là dương với Đất 2 là âm thì nó có số thành là 5 và cộng thêm vạn vật 2, thì trở thành 7 tức con số tối đa của số nguyên tố trong các con số lẻ đầu tiên, kể từ 1, 3, 5, 7 đến 9, bởi vì con số 9 không phải là số nguyên tố, vì nó có thể chia chẵn làm ba lần, với 1, với 3 và với 9.

Hơn nữa, nếu chúng ta để ý lấy số lẻ của 5 số dương là : 1, 3, 5, 7, 9 đem cộng lại như đã thấy ở trên, có kết quả là 25 và rồi lấy số 25 tức 2 với 5 cộng lại thì lại có kết quả : 2 + 5 = 7, thì cũng có kết quả là 7.

Trong bài này chúng tôi đặc biệt viết về con số 5, vì nó là kết hợp của Trời (3) và Đất (2). Từ ngàn xưa theo các kinh điển, người ta đã có những nhóm gồm 5 phân tử như sau :

Ngũ quan gồm có : Tai (nhỉ ), Mắt (mục), Mũi (tị ), Miệng (khẩu ), Lưỡi (thiệt ); Ngũ phước gồm có : Phú (giàu có), Thọ (sống lâu), Khương ninh (sức khỏe), Du háo Đức (đức hạnh), Khảo chung (trọn thân sống); Ngũ Hành gồm có: Kim, Mộc, Thủy, Hỏa, Thổ; Ngũ cúng gồm có : Hương, Đăng, Trà, Hoa, Quả; Ngũ Thường gồm có : Nhân, Nghĩa, Lễ, Trí, Tín; Ngũ giới cấm là 5 điều ngăn cấm của đạo Phật đối với người Phật Tử là: Sát sanh, Đạo tặc, Tà dâm, Uống rượu, Nói dối. (Nếu chúng ta nhìn kỹ và so sánh Ngũ Thường của Nho Giáo và Ngũ Giới của Phật Giáo thì thấy có sự liên hợp giống nhau, bởi vì : Nhân = Không sát sanh; Nghĩa = Không đạo tặc; Lễ = Không tà dâm; Trí = Không uống rượu và Tín = Không nói dối) ; Ngũ Quả gồm có các trái cây như : Mãng cầu, Chùm sung, Dừa tươi, Đu đủ, Xoài v.v.

Ngoài ra, con số 5 là con số kết hợp Trời và Đất, bởi vì tam Thiên, lưỡng Địa và một đặc điểm đáng lưu ý nữa, trong dân gian mình thường tín ngưỡng cứ mỗi tháng có 3 ngày kỵ xuất hành. Đó là, theo câu ca dao :

Mùng năm, mười bốn, hăm ba,
Đi chơi cũng lỗ, lọ là đi buôn.

Nhưng nếu chúng ta bình tâm mà xét theo con số thì có kết quả ba ngày ấy cũng là số 5, bằng chứng là con số 14 tức 1 và 4, nếu đem 1+4 = 5. Con số 23 cũng vậy, tức 2+3 = 5. Do vậy, 3 ngày đó đều có số thành là 5.

Nhiều tổ chức và kiến trúc thời cận đại cũng có căn bản là số 5. Chẳng hạn như :

- Cơ quan đầu não quân sự lớn nhất thế giới được đặt ở Ngũ Giác Đài.

- Nói về quân sự, khi có binh lực thật mạnh, người xưa chia việc chỉ huy ra cho năm quân là: tả quân, hữu quân, tiền quân, hậu quân và trung quân. Dưới thời nhà Nguyễn, chức vụ võ quan cao cấp nhất là Chánh Võ Nhất Phẩm được gọi là "Ngũ Quân Đô Thống".

- Nếu thời xưa là cái gì thuộc dĩ vãng, cổ hủ thì trở lại nói chuyện ngày nay. Tại Hoa Kỳ khi được vinh thăng cấp bậc Thống Chế tột bực trong quân đội như Dwight David Eisenhower (1890-1969) thì được dùng 5 ngôi sao cho cấp hiệu.

Trong vạn vật, con số 5 cũng luôn luôn được hiện hình như theo luật thiên nhiên của tạo hóa.

- Nhiều loài hoa hồng quý giá, hay cả những hoa thường như hoa dâm bụt, khi nở cũng xoè ra năm cánh.
- Ngôi sao bể là một loài thủy tộc cũng có năm nhánh thay vì bốn nhánh hay sáu nhánh.
- Một quả khế cũng có năm khía chìa ra như muốn mời mọc con người tiền sử lần đầu tiên nếm thử mùi vị chua nồng của loại trái cây mới.
- Con người ta lúc đầu tiên tập đếm cũng chỉ tới số 5, vì dùng đầu ngón tay cũng chỉ tới được năm ngón.
- Khi loài người bắt đầu thu nhập những âm hưởng của thiên nhiên, tiếng chim hót thông reo, tiếng gió thoảng bên khe núi và tiếng suối chảy lưng đèo, để đặt ra cung bậc, cũng xếp thành năm cung là : Cung, Thương, Giốc, Trủy và Vũ. Như tả về tài đánh đàn của Kiều, cụ Nguyễn Du đã viết:

"Cung thương lầu bực ngũ âm,
Nghề riêng ăn đứt hồ cầm một chương"

Khi tả đến đoạn nàng Kiều gẩy đàn cho Hồ Tôn Hiến nghe, cụ Nguyễn Du cũng viết là:

"Bắt nàng thị yến dưới màn,
Giở say lại ép cung đàn nhật tâu.
Một cung gió thảm, mây sầu,
Năm cung giỏ máu năm đầu ngón tay"

Ở đây còn nhiều loại khác để chỉ con số 5 không thể kể ra hết được (Độc giả cần tìm hiểu thêm xin tìm đọc quyển thượng từ trang 419 đến trang 423 của tác phẩm Tìm Hiểu Tử Vi Đẩu Số và Địa Lý của Nguyễn Phú Thứ).

Số 5 trong hình học

Trong thiên nhiên, những hình có vẻ đẹp tuyệt vời, thường là những hình được nẩy sinh từ nguyên thủy. Những thí dụ ta nhìn thấy hàng ngày là hình tròn trong mặt phẳng và hình cầu trong không gian. Người tiền sử khi ném một hòn đá xuống mặt hồ sẽ thấy những gợn sóng lan ra như những vòng tròn đồng tâm. Mặt trời, mặt trăng trông cũng có hình tròn, nhưng thật ra là những hình cầu tức là hình tròn trong không gian ba chiều. Ngoài hình tròn ra, trong mặt phẳng, những hình nhiều cạnh đều cũng là những hình đặc biệt. Trước hết ta có hình tam giác đều ba cạnh và hình vuông có bốn cạnh đều nhau. Sau đó đến hình năm cạnh đều và hình sáu cạnh đều. Hình năm cạnh, hay cũng còn gọi là hình năm góc, hay là hình ngũ giác có nhiều tính chất siêu việt hơn là hình sáu cạnh, mà ta cũng còn gọi là hình lục lăng.

Để chứng tỏ tính chất thiên nhiên của hình ngũ giác ta chỉ cần lấy một băng giấy rồi thắt chéo lại thì sẽ có được một hình ngũ giác đều.

Muốn gấp giấy thành một hình lục lăng đều thì phải hoặc là dùng hai băng giấy hay là phải dùng một kiểu gấp cầu kỳ hơn nữa, và điều này chứng tỏ rằng hình ngũ giác thật là một hình thiên nhiên tạo thành. Theo lẽ tự nhiên của số học, ba con số 3, 4 và 5 phải đi liền với nhau. Cũng vì vậy mà mấy ngàn năm trước đây, người ta đã tìm ra hệ thức là "tổng số bình phương của hai số 3 và 4 sẽ cho ta bình phương của số 5" tức là :

Cũng vì sự suy luận sau 3 và 4 phải tới 5 mà Pythagoras đã tìm được định lý rằng : "một tam giác có cạnh tỷ lệ theo những số này phải là một tam giác có góc vuông"

Cách đây ba ngàn năm, người Ai Cập và vào khoảng hơn 500 năm trước công nguyên, nhà toán và triết gia Hy Lạp là Pythagoras đã biết được rằng có ba cố thể mà tất cả các mặt đều có những hình có cạnh đều bằng nhau là hình tháp bốn mặt, hình tám mặt, ở hai cố thể này mỗi mặt đều là những hình tam giác đều bằng nhau và hình thứ ba là hình lập phương có sáu mặt, mỗi mặt đều là những hình vuông bằng nhau. Tới thời triết gia Hy Lạp là Plato vào khoảng 428-348 trước công nguyên thì chứng minh được rằng chỉ có năm cố thể có mặt đều nhau. Hai cố thể sau cùng như trên hình vẽ bên đây là cố thể có 20 mặt, mỗi mặt là những hình tam giác đều bằng nhau và cố thể có 12 mặt, mỗi mặt là những hình ngũ giác đều bằng nhau. Ta nhận thấy không những là chỉ có 5 cố thể hình đều, mà những mặt đều lại chỉ có thể là những hình 3 cạnh, 4 cạnh và 5 cạnh đều mà thôi. Năm hình đã tìm được ra, được gọi là năm cố thể đều của Plato.

Con số Vàng

Ba con số đầu tiên là 1,2 và 3 hay được người Á Đông chú ý đến. Ngoài số 1 là đơn vị, thường cùng để chỉ một ngôi vị chí tôn, người ta hay dùng số 2 để chỉ Đất và số 3 để chỉ Trời. Căn nhà Việt Nam khi xưa thường cất có 3 gian, 2 chái, bao gồm có sân hoa ở giữa. Như thế có nghĩa là thuận hòa được cả Trời và Đất. Về kích thước thành hình chữ nhật, người ta thường dùng khuôn khổ cho khung cửa khi xây cất nhà, hay kích thước lá cờ biểu tượng cho quốc gia, theo tỷ số 3/2, nghĩa là nếu lấy chiều ngang là 2, thì chiều dài phải là 3 đơn vị. Hình chữ nhật mà có cạnh theo tỷ số 3/2 = 1,5 thường được coi như là một hình đẹp mắt.

Sự thực, tỷ số lý tưởng nhất về phương diện mỹ thuật, lại là một số vô tỷ, nghĩa là không bằng tỷ số của hai số nguyên nào. Số này gọi là số vàng, biểu ký bằng mẫu tự Hy Lạp là :

Φ = 1,618033... đã được biết đến và được áp dụng trong sự kiến thiết dinh thự cách đây 25 thế kỷ.

Vào thế kỷ thứ 13, một trong những nhà số học của thời Trung Cổ này là Leonardo da Pisa (1175-1250) và được gọi tên là Fibonacci, theo tiếng Ý có nghĩa là "Con trai của ông Bonacci". Toán học ở thời đại này thì thực ra không tạo được nhiều điều đặc biệt để lưu lại hậu thế, nhưng tình cờ Fibonacci lại tìm ra được một số liệt, tức là một giẫy số, khá trùng hợp với sự cấu trúc của tạo vật như sau : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . .

Muốn biết số liệt này thì bắt đầu bởi số 0 và số 1, rồi kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng lại bằng tổng số của hai số hạng đứng trước. Bạn đọc có thể coi số liệt ở trên để kiểm lại định luật viết số liệt chúng tôi vừa kể.

Liệt số này hay được gặp ở thiên nhiên. Nhiều nhà thảo mộc học đã tìm ra rằng các cây hay nụ hoa nở trên một cành thường nẩy mầm theo số liệt Fibonacci. Muốn dễ hiểu, ta lấy những số Fibonacci 3, 5, 8, 13 thì sẽ thấy là nhiều giống hoa đã chọn những số này là số các cánh hoa. Một thí dụ đặc sắc nhất là sự bố trí các hạt trên mặt hoa hướng dương, hay còn gọi là hoa quỳ (Tournesol)

Những hạt trên mặt hoa được xếp theo những hình xoán ốc rất đặc biệt trong toán học gọi là những hình xoắn ốc Logarit. Như trên hình có những đường xoắn theo chiều kim đồng hồ và những đường xoắn theo chiều ngược lại. Điều kỳ lạ là số đường xoắn thuận và số đường xoắn nghịch không bằng nhau mà lại theo như số liệt Fibonacci. Chẳng hạn hoa nhỏ có 13 đường xoắn theo chiều thuận và 21 đường xoắn theo chiều nghịch. Hoa lớn có thể theo những số (34, 55) và người ta cũng đã tìm được những hoa thật lớn có số vòng thuận và nghịch theo liệt số Fibonacci (89, 144).

Một sự trùng hợp tự nhiên nữa là nếu ta lấy ba số liên tiếp trong số liệt số Fibonacci rồi lấy tích số của hai số đầu và cuối rồi trừ đi bình phương của số ở giữa thì sẽ được +1 hay -1. Tỷ dụ theo số liệt đã viết ở trên, ta thấy :

Điều huyền diệu nhất ở trong số liệt Fibonacci là "nếu gọi F_n là một số hạng trong số liệt thì tỷ số hai số hạng liên tiếp, tức là tỷ số F_n+1 / F_n sẽ dẫn đến một số Phi (Hy Lạp) Φ mà các nhà toán học qua các thời đại đã đồng ý đặt tên là số vàng. Theo số liệt viết ở trên ta tính những số hạng theo hai cột dưới đây :

3/2 = 1.500000                                                     5/3 =1.666667
8/5 = 1.600000                                                   13/8 = 1.625000
21/13 = 1.615385                                             34/21 = 1.619048
55/34 = 1.617647                                             89/55 = 1.618182

144/89 = 1.617978                                      233/144  =  1.618056

Φ = 1.618033989...

Cứ tiếp tục mà tính ta sẽ thấy cột bên trái tỷ số tăng dần và tỷ số bên phải giảm dần để cùng hội tụ lại một số Phi gọi là số vàng. Vậy số vàng ở đâu mà ra, và tại sao lại được trân quý như vậy? Muốn có một ý niệm sơ khai thì chúng ta nhìn hình vẽ của một hình ngũ giác đều trong đó có chứa nhiều hình tam giác cân. Những hình tam giác này được gọi là những tam giác vàng, vì chúng có đặc tính là tỷ lệ của cạnh bên chia cho đáy thì đúng là số vàng. Hơn nữa, tam giác vàng lại có tính chất hoá sinh rất đặc biệt, từ nó nảy ra nhiều tam giác vàng liên tiếp một cách vô tận. Tính chất này và sự liên hệ giữa hình ngũ giác đều và số vàng sẽ được trình bày dưới đây :

Hình Chữ Nhật Vàng

Vì con số vàng chỉ là một số, dù là một số vô tỷ, viết ra thì dài bất tận, nên trong hình học nó chỉ dùng để biểu thị một tỷ số. Tỷ số này là một mỹ số nên hay được thấy trong hội họa và kiến trúc. Một thí dụ đặc biệt là điện Parthenon ở Hy Lạp, được kiến trúc 5 thế kỷ trước công nguyên, diện tiền được lọt vào đúng khuôn khổ một hình chữ nhật mà tỷ số chiều dài chia cho chiều cao lại đúng bằng số vàng Φ = 1,618... .Những hình chữ nhật theo tỷ số này được gọi là hình chữ nhật vàng.

Một thí dụ khác là những thẻ tín dụng bằng plastic rất phổ thông ở thời đại này cũng có hình thể gần giống như hình chữ nhật vàng. Nhiều nhà tâm lý học đã làm những cuộc thử nghiệm và thấy rằng hình chữ nhật có cạnh theo tỷ số vàng là một hình được ưa chuộng nhất. Cũng vì thế mà những hoạ sĩ khi lựa chọn kích thước cho những thẻ tín dụng đã chọn tỷ lệ vào khoảng 1,59, nghĩa là cũng gần bằng tỷ số vàng.

Ta có thể định nghĩa số vàng biểu thị bằng ký hiệu Φ như là một số mà khi trừ đi 1 rồi lấy số nghịch đảo ta lại được số Φ. Viết thành phương trình, ta có :

Φ = 1/ ( Φ - 1)

Khai triển ra, ta được :

Đây là một phương trình đại số bậc hai, và khi giải ra để lấy đáp số có trị số dương ta có ngay :

Φ = (1/2)(1 + ) = 1,618033989 ...

Ta thấy ngay là số Φ được tính từ căn hai của số 5 mà ra. Từ trị số nói trên của số vàng, ta suy ra phép về hình chữ nhật vàng như sau : Lấy AB là cạnh có độ dài là một đơn vị, AB = 1, và sau đó kiến trúc hình vuông ABEF. Lấy O là trung điểm của AB. Theo định lý Pythagoras, đoạn OE sẽ có độ dài là OE = OC =  /2 . Nếu như thế  thì khi vẽ chon trọn hình chữ nhật ACDF thì hình này có chiều dài là AC = Φ, và chiều ngang là AF = 1. Tỷ số hai chiều là số Φ, và hình chữ nhật là hình chữ nhật vàng.

Hình chữ nhật vàng, hay còn gọi tắt là hình kim nhật, có một tính chất hóa sinh rất đặc biệt. Theo như hình vẽ nếu từ hình chữ nhật lớn, ta bỏ đi hình vuông ABEF, thì còn lại hình chữ nhật nhỏ BCDE. Hình này có cạnh dài là BE = 1. Trong khi ấy thì cạnh ngắn là BC = Φ - 1 . Tỷ số hai cạnh của hình chữ nhật này sẽ là 1/( Φ -1) và theo định nghĩa của số vàng thì tỷ số này cũng là số Φ. Vậy thì hình chữ nhật nhỏ này cũng là hình kim nhật. Muốn nhìn thấy sự hóa sinh diệu kỳ này ta bắt đầu từ một hình kim nhật lớn ở ngoải cùng. Mỗi lần cắt bớt đi một hình vuông lại có hình kim nhật nhỏ hơn. Nếu ở mỗi hình vuông, dùng compa để vẽ những phần tư vòng tròn liên tiếp nhau thì sẽ được một hình xoắn ốc, gọi là hình xoắn ốc Logarit. Trong tất cả những hình được gọi chung là hình xoắn ốc, thì hình xoắn ốc Logarit có đặc tính là dù ở gần tâm điểm hay vòng ra ngoài xa, hình dạng vẩn giữ nguyên. Tâm điểm này là điểm O, là điểm gặp nhau của những đường chéo góc của các hình kim nhật. Trên đường xoắn ốc Logarit, nếu ta lấy một điểm M bất kỳ nào và vẽ bán kính OM và tiếp tuyến MT với đường xoắn ốc, thì góc α (alpha) giữa OM và MT lúc nào cũng giử nguyên một trị số.

Hình Tam Giác Vàng

Nay ta trở lại với hình ngũ giác đều theo như hình vẽ ở dưới đây. Nếu vẽ những đường chéo nối những đỉnh của hình ngũ giác đều thì ta sẽ được một ngôi sao năm cánh đều. Những đường chéo hợp với những cạnh của hình ngũ giác thành những tam giác cân, có góc ở đỉnh là  36^o và hai góc bằng nhau ở đáy mỗi góc là 72^o, tức là bằng hai lần góc ở đỉnh. Ở phía trong hình ngôi sao lại hiện ra một hình ngũ giác đều và hình này lại sinh ra một hình ngôi sao 5 cánh đều thứ hai và cứ thế tiếp tục đi vô tận.

Trước công nguyên năm thế kỷ, trường phái Pythagoras đã biết được rằng tỷ số giữa các cạnh của ngôi sao năm cánh và cạnh của hình ngũ giác là số vàng. Đồng thời họ đã biết dùng thước kẻ thẳng và compa để chia tỷ số vàng, nghĩa là họ biết cách để vẽ hình ngũ giác đều, nhưng lại giữ kín không cho người ngoài được biết. Tất cả những tam giác cân mà ta đã vẽ lồng trong hình ngũ giác đều là những tam giác mà tỷ số cạnh bên chia cho đáy là tỷ số vàng. Ta gọi những tam giác này là tam giác vàng hay là kim tam giác. Tam giác này cũng có tính chất hóa sinh, vì nếu góc ở đáy bằng hai lần góc ở đỉnh, thì khi ta vẽ đường phân giác ở đáy ta lại tạo ra một kim tam giác có góc ở đỉnh bằng 36^o và hai góc đều nhau ở chân mỗi góc bằng 72^o. Ta cũng nhận thấy nếu góc ở đỉnh của một hình lục lăng đều là 120^o thì góc ở đỉnh của một hình ngũ giác đều là 108^o. Trong văn học Trung Hoa những con số 36, 72 và 108 là những con số được ưa chuộng như là những con số tự nhiên đã có sẵn trong trời đất. Người lớn coi những con số đó như là những số ưu việt, nghĩa là nếu được thêm vào thì coi như là thừa và nếu bớt đi thì lại thấy thiếu sót. Cũng như vậy trong sách Nam sử có câu :

"Tam thập lục kế tẩu vi thượng sách"

nghĩa là trong ba mươi sáu phương sách thì chạy đi là hơn cả. Cụ Nguyễn Du cũng dùng câu này để tả lời nói của Sở Khanh khi rủ Kiều đi trốn :

"Thừa cơ lẩn bước ra đi,
Ba mươi sáu chước, chước gì là hơn ?"

Trong những truyện kiếm hiệp, nhà văn Kim Dung cũng nói là phái Thiếu Lâm có tất cả bảy mươi hai tuyệt kỹ, tức là coi con số này như là một số viên mãn. Trong truyện Thủy Hử cũng chỉ nói tới 108 vị anh hùng trên Lương Sơn Bạc, chứ không thêm vào nữa cho trọn số 120 vị hảo hán.

Ta cũng có thể bắt đầu từ một tam giác vàng lớn và dùng tính chất hóa sinh để tạo ra nhiều tam giác vàng khác. Như trên hình vẽ, nếu ta vẽ đường phân giác của một góc ở đáy, ta sẽ tạo ra một tam giác vàng nhỏ vì có góc ở đỉnh là 36^o, và một góc ở đáy đã là 72^o, thì góc thứ ba cũng sẽ là 72^o và tam giác là tam giác vàng. Nếu dùng những tam giác được cắt bỏ đi mà vẽ những vòng cung như ở trên hình và nối tiếp những vòng cung lại với nhau thì ta lại kiến tạo được một hình xoắn ốc Logarit.

Giải thưởng Abel năm 2011

Giải thưởng Abel năm 2011 đã thuộc về giáo sư (GS) John Milnor, hiện công tác tại Viện Khoa học Toán học, ĐH Stony Brook, NewYork (Hoa Kỳ) cho “những khám phá tiên phong trong tô pô, hình học và đại số”. Giải thưởng này có trị giá gần 1 triệu USD.

Ngày 24/5 sắp tới sẽ có một buổi lễ trang trọng dưới sự chứng kiến của nhiều quan khách và hàng trăm sinh viên, chính thức nhà vua Harald sẽ chính thức trao giải cho GS John Milnor.

Giải Abel là một giải thưởng toán học quốc tế của Viện Hàn lâm Khoa học và Văn chương Na Uy thành lập vào năm 2002, lấy tên của nhà toán học thiên tài bạc mệnh của Na Uy, Niels Henrik Abel.

Giải Abel, giải Wolf hay giải Fields đều được xem là “Nobel toán học”. Xét về danh tiếng thì giải Abel và Wolf không thua kém gì Fields, mỗi giải đều có một ưu thế nổi trội riêng và tất cả đều là vinh dự lớn của các nhà toán học trên thế giới.

Cho đến hiện tại thì chỉ có ba nhà toán học được cả ba danh hiệu “Nobel toán học”, trong đó có John Milnor. Khi biết tin, GS Milnor đã nói:

“Giải Abel là một vinh dự lớn nhất mà một nhà toán học có thể đạt được, tôi rất vui vì được nhận phần thưởng này”. Ông còn cười hóm hỉnh: “Tôi cũng hơi bất ngờ về giải thưởng này và ngạc nhiên vì một cú điện thoại lúc 6 giờ sáng”.
Những đóng góp của GS John Milnor
Trong khoảng 60 năm làm khoa học, GS Milnor đã làm nên những điểm nhấn quan trọng trong toán học hiện đại.

Rất nhiều khái niệm, kết quả, giả thiết mang tên ông. Trong các tài liệu toán, ta có thể tìm thấy “các hình cầu exotic Milnor, phân thớ Milnor, số Milnor” và nhiều định lý của Milnor. Những công trình đầy ý nghĩa của Milnor đã đưa ông vượt xa hơn cả những kết quả của chính mình.

Ông đã có những ý tưởng rất táo bạo và khám phá rất cơ bản để hình thành nên diện mạo to lớn của toán học vào nửa cuối thế kỉ XX.

Những công trình của ông thể hiện các đặc điểm của một nhà toán học vĩ đại với “những góc nhìn sâu sắc, những ý tưởng sáng chói, những đột phá ấn tượng với một vẻ đẹp rực rỡ” – trích lời Hội đồng xét giải Abel.

Ngoài việc chứng minh những định lý ấn tượng của mình, ông còn xây dựng những vấn đề rất cơ bản thuộc các chuyên ngành khác nhau như tô pô vi phân, tô pô đại số, K – lý thuyết, lý thuyết nhóm, lý thuyết trò chơi, lý thuyết kì dị, hệ động lực.

Công trình đặc sắc nhất đã đưa đến giải thưởng Fields năm 1962 và giờ đây là giải Abel 2011 cho Milnor chính là việc ông đã chứng minh rằng: có nhiều cấu trúc khả vi khác nhau cùng tồn tại trên mặt cầu 7- chiều. Để làm điều này, ông đã đưa ra một lớp mặt cầu kì lạ như tên gọi của nó, đó là các mặt cầu “exotic”. Nhiều nhà toán học đã không thể hiểu nổi tại sao ông lại nghĩ ra được những mặt cầu kì lạ này.

Bài toán này còn liên quan mật thiết đến giả thuyết Poincaré, được Perelman kết thúc chứng minh vào 2003. Thành công vĩ đại này của ông được công bố vào năm 1956 trên Annals of Mathematics (một trong những tạp chí toán học uy tín nhất), khi đó, ông mới 25 tuổi. Công trình này mở ra một hướng nghiên cứu lớn cho một chuyên ngành non trẻ vào thời điểm ấy, đó là tô-pô vi phân.

GS Stephen Smale (giải thưởng Fields năm 1966) nói về thành tựu này: “Đối với tôi, những khám phá của Milnor về các mặt cầu exotic thật là quan trọng để thiết lập cơ sở của tô pô học. Nó giúp ta tiến gần hơn đến sự hiểu biết về vai trò của những cấu trúc khác nhau của lĩnh vực.

Điều này có một vai trò rất lớn trong những công trình của tôi về chứng minh giả thuyết Poincaré cho số chiều lớn hơn 4”.

Giờ đây, ở tuổi cổ lai hy, ông vẫn còn nghiên cứu và viết sách. “Ông là một nguồn kích thích trí tuệ cho rất rất nhiều các nhà toán học” – GS Gowers nói.

Milnor cũng là một nhà sư phạm tuyệt vời vì là tác giả của nhiều quyển sách có ảnh hưởng to lớn và được coi là kinh điển hay mẫu mực trong các sách chuyên ngành của toán học.

Chẳng hạn, cuốn “Lý thuyết Morse” của ông được coi là một quyển sách quan trọng nhất về môn học này trong hơn 40 năm từ khi ra đời. Quyển “Tô pô từ quan điểm vi phân” được nhiều độc giả đánh giá là “một cuốn sách toán hay nhất từng được viết”, hay quyển “Các điểm kì dị của các siêu mặt phức” đã được rất nhiều nhà toán học trích dẫn.
Các giải thưởng GS Milnor đã từng nhận
Sinh ngày 20/02/1931 tại Orange, New Jersey, Hoa Kỳ, Milnor từng học ở Trường ĐH Princeton và nhận bằng cử nhân năm 1951. Sau khi tốt nghiệp, ông được giữ lại trường nghiên cứu và giảng dạy tại khoa toán ĐH Princeton.

Năm 1954, ông nhận học vị tiến sỹ cũng tại đại học danh tiếng này.

GS Milnor đã từng nhận rất nhiều giải thưởng trong sự nghiệp khoa học của mình: đó là giải thưởng Fields năm 1962 khi mới 31 tuổi. Gần đây là giải Leroy P. Steel 2011 được trao cho những thành tựu trọn đời của Hội Toán học Mỹ.

Ngoài ra, ông đã từng nhận hai giải Steel khác nhau của Hội Toán học Mỹ: Mathematical Exposition (cho những tác phẩm toán học 2004) và Seminal Contribution to Research (xây dựng mở đầu cho nghiên cứu 1982).

Trước đó, năm 1989, Milnor đã được trao giải Wolf (được coi là danh giá chỉ sau giải Fields).

GS Milnor đã từng nhận Huy chương khoa học quốc gia Hoa Kỳ và là viện sĩ của các viện lớn như Viện Hàn lâm khoa học Nga (1994) và Viện Khoa học, nghệ thuật và văn chương châu Âu.

Cho đến hiện tại thì chỉ có ba nhà toán học được cả ba danh hiệu “Nobel toán học” đó là Jean- Pierre Serre và John G. Thompson và John Milnor.

Hiệu trưởng Trường ĐH Stony Brook, ông Samuel Stanley đã rất hồ hởi về thông tin GS Milnor được giải Abel: “Thật là tuyệt vời vì điều này khẳng định năng lực của các nhà toán học ở Stony Brook, vì từ đó sẽ sản sinh những sản phẩm học thuật ở đẳng cấp cao. Chúng tôi tự hào về GS Milnor và những đồng nghiệp của ông”.

Bàn về cách thức “chấm điểm” học trò

 Sau 30 năm đi dạy và nghiên cứu về giáo dục, tôi vẫn chưa tìm được một phương pháp chấm điểm trò một cách thật hữu hiệu, công bằng và khách quan.

Tôi vẫn thường kể thí dụ sau đây cho sinh viên : đưa một bài luận văn của một thí sinh Tú Tài ở Pháp cho ba giám khảo khác nhau với những tiêu chỉ chấm điểm rỏ ràng : ba giám khảo này sẽ cho ba điểm khác nhau. Cũng với một bài luận văn, đưa cho một giám khảo ở hai lúc khác nhau, giám khảo này sẽ cho hai điểm khác nhau.

Vai trò chấm điểm của thầy?
Đứng trên bục giảng, đối diện với những chờ đợi của học trò, người đi dạy có rất nhiều việc phải làm, có rất nhiều trách nhiệm chứ không phải chỉ truyền dạy kiến thức. Trong tất cả những việc phải làm, riêng bản thân tôi rất “kỵ” vai trò chấm điểm, phê phán hay xếp hạng học trò. Tôi vẫn nghĩ rằng trường học là nơi đào tạo, là nơi để trẻ học làm người, là nơi để các em phát triển khả năng và là nơi để các em sống hạnh phúc nữa. Chứ không phải là nơi để bị hay được phê phán, thưởng hay phạt.
Đồng thời tôi cũng biết rằng xã hội không phải là một thiên đường, là một cái gì lý tưởng, chỉ có trong truyện thần tiên. Trường học cũng phải có ít nhất một phần tối thiểu luật lệ và chế tài. Để có thể hoạt động bình thường và cũng để chuẩn bị cho các em ra đời, đối mặt với xã hội. Có những học trò cần phải thi mới học.

“Cần phải thi mới học” – Không phải bẩm sinh các em có nhu cầu này – Có thể vì văn hóa xã hội đã gây nên tình trạng ấy : vì xã hội xem trọng bằng cấp nên người đi học phải thi đổ. Cứu cánh của sự học thành ra “để thi đổ” và trường học trở nên lò luyện thi …

Nhưng ngay ở Bỉ, cũng có nhiều học trò chỉ học vì phải thi. Thế nhưng từ từ, một số nhà sư phạm bắt đầu lên tiếng phân tích mọi mặt của vấn đề thi cử, đánh giá học trò, đánh giá quá trình học và đồng thời đề nghị vài phương pháp nhỏ để việc “chấm điểm” học trò được thực hiện hoàn chỉnh hơn.

Từ những thập niên 60, nhiều tiếng nói đã đề nghị về những phương thức để chấm điểm học trò mà nổi tiếng nhất có lẻ là những bài thi trắc nghiệm (QCM) được xem như là một hình thức dễ áp dụng, học trò không cần khả năng viết bài, có thể bao phủ hết chương trình của môn học lại dễ chấm, sáng sủa, ít nhầm lẫn…

Thế nhưng việc chấm điểm học trò không phải chỉ là công cụ chấm điểm (thực ra mỗi hình thức – câu hỏi mở, trắc nghiệm, thi viết, thi vấn đáp, … – đều có cái khả thi và cái bất khả thi) mà sâu xa hơn nhiều. Có những điểm làm cho học trò sung sướng nhận bằng cấp, cũng như có những điểm ám ảnh người đi học trong suốt quảng đời còn lại (tiếng Pháp gọi là névrose d’échec – bệnh ám ảnh thất bại ?). Dỉ nhiên đấy là hai thái cực.

Chấm điểm cái gì ?

Một số đông người đi dạy chỉ chấm điểm khả năng lặp lại (savoir-restituer) vốn hiểu biết đã thu thập được thầy truyền cho. Nói một cách quá đáng, tôi thường bảo rằng học trò của tôi không phải là những con vẹt, chúng không phải lặp lại những gì tôi đã giảng.

Các giáo sư, nhất là giáo sư các môn khoa học như Toán, Vật lý, … chấm điểm khả năng ứng dụng (savoir-appliquer) qua các bài tập, …

Cao hơn tí, nhiều đồng nghiệp tôi đòi ở học trò khả năng làm việc (savoir-faire) tức là thêm vào đó sự sáng tạo, dấu ấn riêng của các em khi đứng trước một hoàn cảnh phức tạp hơn để đi đến giải pháp thích hợp (chẳng hạn học nhạc pháp lý thuyết, sau đó sáng tác).

Học là để làm người, có học thì có thể có xu hướng làm người trọn vẹn hơn (nhờ những môn như triết học, chính trị học, kinh tế, xã hội học nếu chấm điểm được khả năng đó (savoir-être) thì rất hay.

Những điều nói trên có vẻ lý thuyết nhưng chúng thể hiện được sự đa dạng của những gì học trò lĩnh hội được ở trường. Đa dạng đến nổi mà người đi dạy phải biết những giới hạn của cái điểm mình cho học trò.

Chấm điểm chỉ là một dấu ghi nhận, có giá trị tương đối, rằng ở khoảng thời gian nào đó, người học trò đã lĩnh hội / hay không lĩnh hội được một số hành trang hiểu biết mà thầy chờ đợi. Học trò kém một môn không có nghĩa là em ngu hay dốt.

Chấm điểm chế tài hay chấm điểm để phát triển ?

Hình thức thứ nhất – chế tài – là để cho lên lớp, để cấp bằng. Chấm điểm ở cuối học trình. Sau đó trò nào đậu thì mừng với kết quả, còn những trò khác thì không biết tại sao mình thi rớt .

Hình thức thứ hai – để phát triển – chấm điểm để thấy chỗ nào đã hiểu hết, đoạn nào đã suôn sẻ và chỗ nào chưa thấu đáo hầu làm lại, đào sâu hơn để thấu đáo. Sau khi thi, với bài thi trên tay, thầy và trò phân tích để hiểu thêm, học cách khác, thay đổi phương pháp chẳng hạn, để kết quả tốt hơn.

Nói một cách cực đoan : nếu chỉ chấm điểm kiểu chế tài, trò nào không đủ điểm phải ngồi lại lớp, phải thi lại, … việc ngồi lại lớp, mất một năm, nhiều khi không có ích lợi gì vì thầy và trò vẫn không hiểu những “nguyên nhân” của bảng điểm xấu để có thể làm tốt hơn.

Đi vào cụ thể ?

Tôi chưa bao giờ đề nghị từ bỏ việc chấm điểm chế tài ở cuối học trình mặc dù hình thức này có nhiều điểm tiêu cực.

Tôi chỉ đề nghị thêm vào đó, nhiều cuộc chấm điểm trong suốt học trình để thầy và trò “nắm vững tình hình” để mà cùng đi tiếp, để có thể “trở tay” đúng lúc, tìm hình thức thay đổi khi có vấn đề. Chấm điểm và đào tạo thành “một công mà hai việc” liên đới với nhau. Thế ta sẽ tránh được tình trạng đậu hay rớt ở cuối học trình mà tất cả các trò “đều xong học trình”.

Lý thuyết có vẻ đơn giản nhưng để thực hiện được 12 năm học không có thi “tốt nghiệp” (tương đương với trung học bên nhà) nước Bỉ đã qua một quá trình làm thử, thay đổi, … với khả năng cung cấp không những giáo dục cưỡng bách cho tất cả đến 18 tuổi mà còn cung cấp những trường thích hợp (phổ thông, kỷ thuật hay chuyên nghề, … ) tùy theo nhu cầu và khả năng của mỗi trò.

Việc chấm điểm trong học trình cần được thầy và trò thống nhất trong tư duy. Nếu thầy nêu rỏ mục đích, chỉ tiêu của môn mình dạy, truyền cho trò những cách để đánh giá quá trình học thì cả thầy và trò đều có thể đồng trách nhiệm, một loại “khế ước” giửa thầy và trò. Sự “được người lớn tin cậy, tín cẩn” làm trẻ “lớn” hẳn lên, cố xứng đáng niềm tin đó. Trẻ con nhờ thế có thể trưởng thành sớm hơn ta tưởng tượng, nắm vận mệnh học hành trong tay.

“Chấm điểm” trở thành, ít nhất là một phần, “tự chấm điểm” và trong chừng mực ấy, không còn là một công cụ thể hiện “quyền lực của thầy” .

Từ một chuyện chuyên thuần giáo dục, chấm điểm trò cũng là một vấn đề liên hệ đến xã hội, văn hóa và đạo đức.

Cá nhân và kinh nghiệm riêng ?

Tôi có dùng “chấm điểm-trả bài” (évaluation-restitution) cho những sinh viên năm đầu đối với những hiểu biết căn bản cần có. Trước kỳ thi, các em được chuẩn bị về hình thức các câu hỏi, những gì tôi chờ đợi, tiêu chuẩn chấm điểm, … Những sinh viên khác, tôi dùng hình thức thi với sách và tài liệu mở (examen à livres ouverts) và cuối cùng thì tôi chấm điểm những nghiên cứu của sinh viên.

4 mẹo trình bày bài kiểm tra Toán - điểm "bonus" chẳng hề xa vời!

1. Đừng tiết kiệm các biển chỉ đường

Khi chấm bài, thầy cô thường xem bạn làm được đến đâu để cho điểm. Thế nên các “cột mốc chỉ đường” rất có lợi cho bạn. Ví dụ, trong một bài có nhiều câu a, b, c…bạn hãy đánh số các câu hỏi nhỏ thật dễ nhìn. Tốt nhất là những chữ a, b, c đó bạn ghi luôn ra ngoài lề giấy để thầy cô chỉ nhìn qua là biết bạn đã làm đủ các yêu cầu của bài tập.

Nếu mỗi câu a, b, c… lại còn những yêu cầu nhỏ hơn thì các dấu hoa thị là một dụng cụ hữu ích. Không nên dùng dấu gạch ngang, thầy cô có thể nhầm nó với dấu âm ( - ) và trừ điểm. Bạn phải chú ý nhé!

2. Luôn cho thầy cô biết hướng làm bài của bạn

Chấm bài, đối đầu với vô số kiểu chữ, kiểu lí luận, thầy cô nhiều khi cũng… mất phương hướng. Hãy giúp thầy cô nhìn ngay ra hướng làm bài của mình nhỉ! Trước khi lao vào hùng hục tính toán, hãy viết một câu để thể hiện bạn dựa vào phần lí thuyết nào để làm bài đó. Thầy cô sẽ biết ngay bạn có hiểu bài và định hướng đúng hay không. Nhất là với những bài Toán phải đặt ẩn phụ, đưa về các dạng cơ bản đã học, bạn hãy viết thật rõ xem mục đích đặt ẩn của bạn là gì và bài toán chuyển sang hướng nào, ví dụ như “ Đặt XYZ là t với điều kiện... Bài Toán đưa về: tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn…”.

Và dù bạn có sai sót hay tính nhầm thì rất có thể thầy cô sẽ châm chước cho một ít điểm vì cách làm đúng. Còn nếu bạn trình bày cẩu thả và khó hiểu quá thì có khi chẳng được điểm nào đâu.

3. Không viết quá dài, hạn chế những đoạn không cần thiết:

Viết thêm những câu lí giải thì bạn phải bớt những phần tính toán quá dài dòng, không thì bài làm của bạn khác gì một…cuốn nháp. Bạn nên ghi công thức tổng quát và phần thay số, còn tính toán thì làm ra nháp.

Những phần tính toán sơ đẳng kiểu như 1+1=2, các phương trình bậc hai đơn giản, bạn chỉ cần tính toán ngoài nháp rồi ghi kết quả vào bài làm. Tuy nhiên, điều đó chỉ được áp dụng cho những phần kiến thức quá phổ thông. Còn những mảng kiến thức mới thì bạn phải viết đầy đủ để thể hiện kiến thức của mình. Ví dụ như tích phân xác định chẳng hạn. Khi tính ra nguyên hàm rồi thì phải có phần thay số cụ thể theo đúng công thức. Chỉ có kết quả cuối cùng mới được tính tắt thôi đấy.

4. Có phần ghi đáp số

Cái đáp số ghi ở cuối mỗi bài thực ra lại rất có lợi cho các bạn đấy! Nó sẽ giúp thầy cô chấm rất nhanh bài của bạn. Chỉ cần liếc qua cách làm và xem đáp số là thầy cô có thể quyết định được cho bạn bao nhiêu điểm. Những lúc chấm như thế, thầy cô rất dễ không nhận ra những lỗi trình bày trong bài làm của bạn mà chỉ nhìn thầy cái đáp số đúng được ghi rõ ràng cuối bài. Mà nếu chẳng may bạn có làm sai tí chút trong bài làm mà đáp số vẫn ghi đúng thì thầy cô thường hiểu là “Chắc nó hiểu và làm đúng nhưng lại ghi nhầm thôi” => Bạn có cơ hội gỡ gạc chút điểm => Lợi quá!

Tại sao bạn lại phải "sợ" môn Toán?

Đơn giản là do bạn chưa biết cách học để nắm chắc kiến thức mà thôi. 

Nắm chắc kiến thức cơ bản
Đối với môn Toán, có một nguyên tắc quan trọng là không bao giờ được bỏ qua những kiến thức cơ bản. Có thể sẽ nhiều bạn bảo là "khổ lắm nói mãi" nhưng điều này đôi khi không đơn giản như bạn nghĩ. Toán học là môn học lô gic, nếu không có nền tảng cơ bản bạn sẽ bị hổng kiến thức rất nhanh mà mình không ngờ tới đấy. Đây cũng là nguyên nhân làm mất điểm oan của đa số các bạn học giỏi mà chủ quan do không nghĩ bài có thể dễ như vậy, các bạn ấy cứ liên tưởng tới cách giải cao siêu lắm.
Trước những dạng bài cơ bản bạn lại càng phải nắm rõ và làm trôi chảy. Bạn biết những dạng bài cơ bản đó nằm ở đâu không? Chính là những bài tập ví dụ minh họa cho các phần lí thuyết sách giáo khoa đấy. Hãy luyện tập sao cho khi bắt gặp những dạng bài đó là bạn có thể bắt tay vào làm ngay, tốt nhất hãy làm theo cách “cổ điển” của bài đó, đừng mất thời gian biến đổi hay nghĩ rằng bạn sẽ tìm cách hay hơn, ngắn hơn.
Một thầy giáo dạy Toán trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam đã từng khuyên học trò không cần phải học kiến thức gì cao siêu hay chạy sô học thêm mà vẫn có thể học Toán giỏi. Bí quyết đó là gì? Đơn giản lắm, bạn chỉ cần học các kiến thức cơ bản của sách giáo khoa kèm theo các cuốn sách bài tập
Sở dĩ khuyên bạn nên học theo sách bài tập là vì trong sách có hướng dẫn và đáp số sẵn. Khi làm xong có thể đối chiếu ngay cách làm và kết quả để đánh giá khả năng làm bài của mình. Nếu khó hiểu và bí quá thì có thể nhờ bạn bè, thầy cô giảng giúp.
Đây cũng là kinh nghiệm dành cho những bạn đã bị hổng kiển thức có thể lấy lại “phong độ” của mình đấy. Bạn thử áp dụng xem đi nào.
"Yếu phần nào đào sâu vào phần đó"
Bạn nên học theo từng dạng bài, tìm ra nhiều phương hướng để giải quyết, luyện tập thật nhiều. Hiểu rõ bản chất và cách tư duy làm thế nào để ra các công thức đó. Đơn giản đó là phải đọc và hiểu về bài toán đó một cách thực sự cũng như biết cách vận dụng chúng thật nhuần nhuyễn. Từ đó, mọi công thức mà nhiều người phải khó khăn để học thuộc bỗng dưng ăn sâu vào tiềm thức suy nghĩ của mình. Khi gặp một bài toán, từ những gì mình hiểu bạn cứ thế vận dụng ra thôi.
"Làm nhiều quen tay”, kiến thức ngấm rất nhanh và bạn sẽ không còn thấy “sợ” khi phải đụng độ dạng bài đó nữa.
Mỗi lần học Toán bạn nên tập trung, tự tin rằng mình sẽ làm được bài. Hãy thường xuyên xung phong trả lời và đừng sợ sai. Nếu chẳng may có sai thì thầy giáo sẽ chữa cho bạn và chắc chắn lần sau bạn sẽ không mắc phải những lỗi sai như vậy nữa phải không?
Kinh nghiệm học Toán thì có nhiều lắm, nhưng quan trọng hãy xác định rõ thực lực của mình, điểm yếu cũng như điểm mạnh của bạn để từ đó lên kế hoạch ôn luyện hay áp dụng các phương pháp học phù hợp cho mình. Hãy học bằng tất cả niềm say mê của mình, chắc chắn bạn sẽ không còn chán nản trước những con số Toán học khô khan.
Chúc bạn thành công!

SỰ NỔI LOẠN CỦA SỐ KHÔNG

Cùng nghe câu chuyện về anh em nhà số qua góc nhìn thật hóm của anh chàng điển trai tên là SỐ BA nhé!


Thưa quý vị, tôi là một số 3. Chúng tôi có đến 9 anh chị em, là các số tự nhiên từ số 1 đến số 9.
Mỗi người mỗi vẻ, 

Số 1 thích khuyên răn người khác. 

Số 2 chuyên gia buôn dưa lê.

Còn tôi thầy bói phán là số chưa hoàn thiện, lúc nào cũng có xu hướng đi tìm một nửa (bên trái) của mình. 

Số 4 thích biểu diễn xiếc thăng bằng trên ghế. 

Số 5 hoang tưởng mình là siêu mẫu, gặp ai cũng hỏi: "Thử nắm xem có ai hài hòa những nét thẳng và cong như tôi không". Đến nỗi chỉ nghe nó nói thử ngắm là mọi người đã đồng thanh: "Biết rồi, thẳng và cong"

Số 8 cận lòi, thích đọc sách và xem ti vi. Mà cũng lạ, một đứa nhút nhát như nó lại rất thích xem phim hành động. Hỏi mãi, nó mới thú nhận : "Thỉnh thoảng trên mấy cái phim đó, họ nhắc tới em". Chúng tôi xem thử, hóa ra là còng số 8.

Ngộ nhất là thằng số 9 . Thỉnh thoảng, cao hứng, nó lại biểu diễn trồng cây chuối thành số 6.

 
Thằng số 6 thì nằng nặc đòi học trò này để... lừa

số 7 gọi là anh.

Ngày tháng êm đềm trôi qua cho đến khi thằng số 0 xuất hiện .

Chắc các bạn tưởng chúng tôi là cùng một mẹ, nhưng thực ra 9 anh chị em chúng tôi do người Ả Rập phát minh ra, còn thằng số 0 sinh sau đẻ muộn, quê quán hình như là Ấn Độ thì phải.

Ban đầu, chúng tôi thấy cái thằng tròn như quả dưa này cũng dễ thương. Nó cứ xách dấu cộng dấu trừ lăng xăng khắp nơi.

Rồi nó lại nghĩ ra trò biến hình, nó đang đứng đằng trước, thoát cái, nó vòng ra đằng sau và hấp... bạn bỗng lớn lên gấp 10 lần. Đôi khi nó cũng nghịch quá trớn khi gọi mọi người đến xem siêu mẫu 50 tuổi chẳng hạn.


Nhưng tai họa thật sự bắt đầu khi cậu chủ học phép nhân và thằng số 0 lĩnh hội được cách xài dấu nhân

Hễ nó đứng cạnh ai là người đó biến thành số 0 y như nó. Cái dấu nhân trong tay nó biến thành một vũ khí khủng bố siêu hạng. Và thằng số 0 cũng rất nhanh, từ 1 đứa trẻ hay nghịch dại trở thành kẻ quy định luật chơi. Nếu có ai thử mở miệng phản đối sẽ có một số 0 nữa. Mọi người đều im như thóc dưới triều đại của số 0.

Người đưa chúng tôi thoát khỏi cảnh hiểm nghèo là số 8. Một buổi tối, trong lúc tất cả mọi người im lặng, dăm chiêu nghĩ tới ngày mai, thì số 8 thì thầm: " Em nghe nói, bên cặp của cậu chủ lớn học lớp 11 có 2 anh Vô-Cùng-Lớn. Nghe nói họ có thể xơi tái số 0".

Chúng tôi dấy lên một hy vọng mong manh. Một buổi tối, tất cả bí mật kéo sang cặp cậu chủ lớn. Thoạt tiên, chúng tôi cứ ngỡ đó là 2 sư phụ của số 8, bởi họ giống hệt số 8 nằm ngang. Hai anh có vũ khí là dấu + và dấu -. Các anh tự giới thiệu mình là những : Dương Vô Cùng và Âm Vô Cùng.

Không hiểu có kẻ nào chỉ điểm, thằng số 0 cũng lạch bạch chạy sang, nó xách theo một dấu nhân to tướng. Nó nhìn hai anh Vô Cùng Lớn liền hăng máu vịt xông đến và ngay lập tức biến mất. 

Anh Dương Vô Cùng cười lớn: 

" Ngoài trời còn có trời, ngoài số học còn có đại số. Chúng bay đừng tưởng làm loạn được vói cái dấu nhân kia!".
Anh Âm Vô Cùng nói tiếp : "Toán học mênh mông như trời. Chỉ một thời gian ngắn nữa thôi, các em sẽ biết đến dấu chia. Nếu các số 0 sử dụng dấu chia này thì các em sẽ trở thành vô nghĩa. Khi chúng có ý định vùng lên tiếp, các em hãy nhớ rằng chỉ có hai con đường : hoặc là tuân theo chúng, hoặc là trở thành như chúng ta đây, những Vô Cùng Lớn.

Các dạng "đề thi" đại học cần biết!(*_*)?????

1. Giải tích (4 điểm)

a/ Khảo sát hàm số (2đ): Thường được cho dưới dạng vẽ đồ thị hàm số cùng các câu hỏi liên quan: giao điểm của hai đồ thị, tiếp tuyến, biện luận tăng giảm, cực trị và biện luận số nghiệm của một phương trình bằng phương pháp đồ thị…

Đặc biệt, HS phải nắm vững phương pháp tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bậc 3 và hữu tỉ. Trong phần đồ thị, cần nắm vững phương pháp vẽ đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.

b/ Tích phân (1đ): Bao gồm các bài toán tính một tích phân cụ thể và ứng dụng tích phân để tìm diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Để làm tốt phần này, HS cần nắm vững các phương pháp tích phân như: phương pháp phân tích, đổi biến số, từng phần.

c/ Giải tích tổ hợp (1đ): Cần nhận định rõ khi nào dùng cùng công thức khai triển nhị thức Newton và sử dụng số hạng thứ k để tìm số hạng chứa.Vận dụng để khai triển lũy thừa ba số hạng dạng (a+b+c)x .

2. Hình học (3 điểm): Gồm hình học giải tích phẳng và hình học giải tích trong không gian:

- Đối với hình học giải tích phẳng (1đ): HS phải nắm vững cách viết phương trình đường thẳng, đường tròn, elip… thỏa mãn một điều kiện cho trước và cách viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn, elip... Đặc biệt: viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm.

- Đối với hình học giải tích trong không gian (2đ): Nắm vững cách chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát cùng các vấn đề về đường thẳng mặt phẳng, mặt cầu và các bài toán liên quan. Khi giải toán hình học không gian ngoài phương pháp tổng hợp, học sinh phải biết cách chọn hệ trục tọa độ để giải toán. Nắm vững cách chọn hệ trục khi giả thiết cho tam diện 3 góc vuông , hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ, hình chóp…

3. Toán sơ cấp (3 điểm)

- Lượng giác: Học sinh cần nắm vững các phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản. Khi gặp phương trình lượng giác bất kì biết hạ bậc, biến đổi về cung giống nhau và đem về dạng tích số để giải. Biết nhìn vào đường tròn lượng giác để giải các bất phương trình đơn giản . Vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

- Đại số: HS phải nắm vững cách giải phương trình và bất phương trình: vô tỉ, mũ, logarit, chứa trị tuyệt đối. Cũng cần chú ý các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ có vế trái đẳng cấp bậc 2 cùng điều kiện để các hệ này có nghiệm. Trong các bài toán đặt điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm HS cố gắng chuyển bài toán về phương pháp sử dụng đồ thị để biện luận. Trong các bài toán đặt điều kiện để bất đẳng thức đúng với mọi x thuộc đoạn [a:b] hoặc bất phương trình nhận mọi x thuộc [a:b] làm nghiệm, ta nên chuyển bài toán về sử dụng min, max.

Thí sinh cần nắm vững các kiến thức và cách vận dụng tam thức bậc hai để giải toán. Đặc biệt các định lý đảo về dấu tam thức thức bậc hai. Riêng HS học chương trình phân ban còn lưu ý thêm các dạng toán về số phức.

Cuối cùng, để làm tốt bài thi và đạt điểm cao trong kỳ thi, khi làm bài phải trình bày rõ ràng, mạch lạc, không nên sử dụng kiến thức ngoài chương trình phổ thông để giải toán. Các bạn hãy nhớ rõ phương châm: dễ làm trước, khó làm sau.

Sai lầm trong học toán!

Nhà toán học George Polya đã từng nói: "Con đường duy nhất để học Toán là làm Toán". Vậy, để học tốt môn Toán, ta phải rèn luyện cho mình kỹ năng giải toán thật tốt. Thực tế cho thấy, hầu hết các học sinh - sinh viên vẫn chưa nhận thức rõ điều này, trong giải toán vẫn còn mắc phải nhiều sai lầm. Bài viết sau đây sẽ giúp ta hiểu thêm về điều đó.

A. Cách học toán

Ta phải học toán trước khi giải các bài toán. Sau đây là vài hình tượng so sánh các cách học toán.

+ Khi chúng ta ghi chép thật cẩn thận và học thuộc thật kỹ các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: bảo quản thật kỹ và đếm đi đếm lại tất cả những gì có trong một bọc, trong đó có tiền lẫn với giấy vụn, của một ông tỉ phú cho chúng ta. Thường thì trong bọc có nhiều giấy vụn hơn tiền.

+ Khi chúng ta ghi chép thật cẩn thận các ý toán và kỹ thuật toán cùng các bước chính của các chứng minh các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: lựa riêng tiền trong bọc nói trên, bảo quản thật kỹ và đếm đi đếm lại số tiền đó.

+ Khi chúng ta xem xét cách sử dụng các kết quả của các định lý và các bài tập cùng các ý toán và kỹ thuật toán trong phần chứng minh chúng, chúng ta đã làm công việc tương tự với: tìm cách sử dụng hiệu quả số tiền đó.

+ Khi chúng ta xem xét cách tiếp cận và cách tìm ra các chứng minh các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: học cách làm ra số tiền đó của ông tỉ phú.

Cách học đầu tiên rất tệ hại, ngay cả những thiên tài bị buộc học theo kiểu này cũng trở nên ngu xuẩn. Tuy nhiên còn nhiều kỳ thi trên đại học chủ yếu khảo hạch trí nhớ của sinh viên hơn là trình độ suy luận của họ: việc này vô tình đẩy một số sinh viên vào cách học thứ nhất cùng với các tệ nạn quay cóp trong các phòng thi. Chúng tôi chưa hề thấy có một công việc của sinh viên tốt nghiệp nào mà người ta phải làm toán mà tuyệt đối không được tham khảo các tài liệu.

Chúng tôi mong ước ngày nào đó sinh viên chúng ta được tham khảo mọi tài liệu trong phòng thi. Chúng tôi đã áp dụng cách thi này trên hai mươi năm nay (cho cả các sinh viên năm thứ nhất) và thấy thực sự đã thúc đẩy sinh viên học một cách có rèn luyện suy luận hơn. Thực ra, phải suy nghĩ nhiều hơn khi ra đề cho cách thi này, nhưng không phải là công việc quá khó.

Các sinh viên học theo ba cách sau cùng tùy theo các mơ ước của mình. Phần hướng các dẫn bài tập trong sách này hỗ trợ các bạn học có suy luận hơn. Có điều thú vị là: khi các bạn học theo cách thứ hai, có những điều là “tiền” hôm nào thì hôm nay trở thành “giấy vụn” vì chúng trở nên quá quen thuộc với các bạn. Do đó học đúng cách chúng ta sẽ thấy chương trình học ngày càng nhẹ đi nhiều.

B. Các lỗi cơ bản khi giải toán

Sau đây là các lỗi mà chúng ta cần tránh khi giải toán.

+ Mơ ước thấy ngay lời giải khi bắt đầu giải một bài toán.

Nhiều học sinh và sinh viên mất tinh thần khi không thấy phương hướng rõ rệt nào để giải một bài toán. Bản chất của việc việc giải toán là từng bước một tiến gần hơn đến lời giải. Đừng mơ ước vô lý về có một giải pháp toàn cục ngay khi bắt đầu giải một bài toán.

Có những sinh viên, khi được gọi lên bảng giải toán, cho chúng tôi biết họ chưa giải xong bài toán đó ở nhà. Chúng tôi yêu cầu họ viết ra những gì họ giải được về bài toán đó, sau đó chúng tôi yêu cầu họ đọc lại đề toán và những gì họ đã viết, rồi khuyến khích họ viết thêm một chút nữa. Cứ như vậy, và cả lớp bỗng thấy bài toán đã giải xong sau khi họ viết ra dòng sau cùng, giống như xem một màn ảo thuật.

Thật ra đa số các bài toán trong chương trình học đều có thể giải như vậy mà không cần có một khái niệm toàn cục về lời giải khi bắt đầu giải chúng. Đây là tác phong làm toán cần được rèn luyện để chuẩn bị cho việc đương đầu với các bài toán phức tạp trong nghiên cứu khoa học về sau này.

Vấn đề làm sao viết thêm một chút từ những gì có sẵn sẽ được trình bày trong các mục sau.

+ Lướt qua các bài toán cơ bản và dành nhiều thì giờ cho các bái toán đố.

Nhiều sinh viên coi thường các bài toán cơ bản đơn giản mà không dành thì giờ ôn tập chúng, chỉ cố giải và học thuộc các bài toán khó. Thực ra đa số các bài toán phức tạp là các bài phối hợp nhiều bài toán cơ bản. Cho nên sẽ chúng ta thấy rõ bản chất của các bài toán loại này và dễ dàng giải chúng nếu chúng ta đã thành thạo các bài toán cơ bản và nhìn ra chúng ngay trong đống hỗn độn của các bài toán phối hợp. Mặc khác thực là buồn cười khi muốn giải các bài toán tổng hợp mà chưa nắm vững các bài toán đơn giản.

Có các bài toán chỉ giải được nếu chúng ta biết vài ý toán rất đặc biệt và thường rất ít gặp trong toán học (ngay cả trong nghiên cứu toán học). Chúng tôi gọi chúng là các bài toán đố. Nếu chúng tôi bất thình lình phải giải các bài toán loại này với thời hạn vài giờ thì chúng tôi cũng có thể bị bí! Các bài toán này không giúp nhiều cho chúng ta trong việc phát triển kỹ năng làm toán.

Làm một bài toán cơ bản chúng ta có thể học được cách giải cho rất nhiều bài toán khác, còn làm một bài toán đố thì hầu như chúng ta không áp dụng chúng cho bất kỳ bài toán nào khác! Làm các bài toán đố lại rất mất thì giờ. Chúng tôi sưu tập và hướng dẫn một số bài toán đố trong phần bài tập bổ sung cuối các chương sách này để giúp sinh viên giải nhanh chúng và tập trung việc học vào các bài toán cơ bản. Trong các bài thi thông thường tỉ lệ các bài toán đố ít hơn 15%, vì thế bạn nào dành nhiều hơn 15% thời gian học tập cho chúng là vô lý!

+ Sử dụng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền.

Nhiều sinh viên học toán đến đau đầu. Chúng ta sẽ thấy không phải toán làm họ đau đầu mà chính cách làm toán của họ hại họ. Các bạn thử làm nhẩm trong đầu các bài toán sau: và . Nay các bạn thử giải các bài toán đó trên giấy nháp như sau 75+36 và 25×36

Các bạn sẽ thấy đầu các bạn sẽ ê ẩm sau vài lần tính nhẩm và nếu dùng giấy nháp để tính toán thì không có gì khó khăn cả. Chính thói quen dùng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền mà nhiều sinh viên cảm thấy cực kỳ mỏi mệt sau khi làm bài thi tới 120 phút trong một buổi thi dài 180 phút.

Việc dùng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền còn xuất hiện trong các thí dụ dưới đây:

Tính đạo hàm f(x)=root(x^2+2x-5) mà không viết f(u) và suy ra u=x^2+2x-5 . Thật ra rất nhiều sinh viên đã tính nhẩm các bước tính toán trên trong đầu và chỉ viết ra kết quả. Chúng ta nên viết các công thức ra giấy trước khi dùng nó. Nếu tính toán dựa vào các công thức trong đầu, chúng ta bắt bộ óc hoạt động theo cơ chế “song song”, cùng một lúc phải làm nhiều thứ khác nhau, việc này dẫn đến đau đầu và sai sót.

+ Không ghi đầy đủ các chi tiết chứng minh mặc dù các chi tiết này đều đã hiện rõ trong đầu.

Việc này xảy ra khi sinh viên cố gắng làm bài ngắn gọn hơn, tuy nhiên việc này rất tai hại. Thật ra cách viết này còn có tác hại lớn hơn nữa: nhiều khi các dòng chữ đó, hiện ra trong đầu mà không được ghi ra, lại rất quan trọng trong việc giúp ta tìm ra cách làm tiếp bài toán và hậu quả là chúng ta bị bí một cách oan uổng.

Cách làm toán tốt nhất là: trong đầu nghĩ sao thì ta viết ra như vậy, không lựa chọn hay tìm cách viết ngắn lại. Chúng ta chỉ trình bày lại cho gọn (nếu thật sự cần thiết) bài giải dựa trên một bài giải chi tiết đã được ghi ra giấy.

+ Không để ý đến các yếu tố đơn lẻ trong các sự việc cho sẵn và các sự việc phải chứng minh.

Nếu chúng ta gom các sự việc cho sẵn thành “khối giả thiết” và các sự việc phải chứng minh thành “khối kết luận” và cố tìm các cách cách chứng minh “khối kết luận” từ “khối giả thiết” thì chúng ta khó thấy được cách tìm ra một lời giải. Chúng ta phải để ý từng chi tiết nhỏ của các khối đó và liên hệ giữ các khi tiết nhỏ đó. Trong thí dụ 1 của mục sau, các bạn sẽ thấy với hai chữ B xuất hiện trong sự việc cho sẵn và sự việc phải chứng minh, chúng ta có thể làm một bước trong quá trình giải bài toán. Cho nên khi tìm kiếm lời giải của một bài toán chúng ta chú ý đến từng chi tiếtcó liên quan đến nhau (dù là những chi tiết nhỏ nhặt). Vì thế chúng tôi dùng các cụm từ ”các sự việc cho sẵn” và “các sự việc phải chứng minh “thay thế cho các cụm từ “giả thíết” và “kết luận” trong phần hướng dẫn giải toán trong sách này.